539 lines
19 KiB
TeX
539 lines
19 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||
|
||
%---- Ustawienia polskich znaków -----------------------------------------------
|
||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[polish]{babel}
|
||
|
||
%---- Lepsza czcionka i estetyka ----------------------------------------------
|
||
\usepackage{lmodern}
|
||
\usepackage{parskip}
|
||
|
||
%---- Pakiety matematyczne i nie tylko ----------------------------------------
|
||
\usepackage{amsmath,amssymb}
|
||
\usepackage{geometry}
|
||
\usepackage{xcolor}
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{hyperref}
|
||
\usepackage{longtable}
|
||
\usepackage[table]{xcolor}
|
||
\usepackage{fancyhdr}
|
||
\usepackage{enumitem}
|
||
\usepackage{tikz}
|
||
\usepackage{pifont}
|
||
|
||
%---- Pakiet do ładnych ramek i kolorowych boksów -----------------------------
|
||
\usepackage[most]{tcolorbox}
|
||
|
||
%---- Definicje stylów ramek tcolorbox ----------------------------------------
|
||
\tcbset{
|
||
framecode={},
|
||
center title,
|
||
left=2mm,
|
||
right=2mm,
|
||
top=1mm,
|
||
bottom=1mm,
|
||
fonttitle=\bfseries,
|
||
colback=gray!5,
|
||
colframe=black!70,
|
||
enlarge top by=2mm,
|
||
enlarge bottom by=2mm,
|
||
boxsep=2pt
|
||
}
|
||
|
||
% Przykładowy styl tcolorbox do zadań
|
||
\newtcolorbox{taskbox}[2][]{
|
||
title=#2,
|
||
#1
|
||
}
|
||
|
||
% Przykładowy styl tcolorbox do rozwiązań lub komentarzy
|
||
\newtcolorbox{solutionbox}[1][]{
|
||
title=#1,
|
||
colback=green!2,
|
||
colframe=green!50!black,
|
||
fonttitle=\bfseries\footnotesize,
|
||
varwidth boxed title,
|
||
boxed title style={rounded corners},
|
||
sharp corners,
|
||
boxrule=0.4pt,
|
||
toprule=1pt,
|
||
bottomrule=1pt
|
||
}
|
||
|
||
%---- Definicje naszych symboli i skrótów --------------------------------------
|
||
\newcommand{\ok}{%
|
||
\tikz[baseline=-0.5ex]{
|
||
\node[draw, rectangle, minimum size=1em, inner sep=0pt]
|
||
{\textcolor{green}{\ding{51}}};
|
||
}%
|
||
}
|
||
\newcommand{\no}{%
|
||
\tikz[baseline=-0.5ex]{
|
||
\node[draw, rectangle, minimum size=1em, inner sep=0pt]
|
||
{\textcolor{red}{\ding{55}}};
|
||
}%
|
||
}
|
||
|
||
% Makra do odwołań, np. WS (wymaganie szczegółowe), WO (wymaganie ogólne), itp.
|
||
\newcommand{\WS}[1]{\textbf{WS #1}}
|
||
\newcommand{\WO}[1]{\textbf{WO #1}}
|
||
\newcommand{\WOGPrec}{\textbf{W$_{\text{Og(Prec)}}$}}
|
||
|
||
%---- Ustawienia marginesów ---------------------------------------------------
|
||
\geometry{
|
||
left=2.5cm,
|
||
right=2.5cm,
|
||
top=2.5cm,
|
||
bottom=2.5cm
|
||
}
|
||
|
||
%---- Definicja stylu fancyhdr ------------------------------------------------
|
||
\pagestyle{fancy}
|
||
\fancyhf{} % wyczyszczenie nagłówków i stopek
|
||
\lhead{Praca z ciągiem geometrycznym}
|
||
\rhead{Przykład -- bez pakietu forest}
|
||
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
|
||
\cfoot{\thepage}
|
||
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
|
||
|
||
|
||
\pagestyle{fancy}
|
||
\fancyhf{} % Czyścimy domyślne nagłówki i stopki
|
||
|
||
% Definiujemy stopkę
|
||
|
||
% Definiujemy kolor czerwony dla WS oraz ciemnozielony dla WO
|
||
\definecolor{ws}{rgb}{0.0, 0.0, 1.0} % Czerwony
|
||
\definecolor{wo}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0} % "dark green"
|
||
|
||
\pagestyle{fancy}
|
||
\fancyhf{} % Czyścimy domyślne stopki / nagłówki
|
||
|
||
|
||
%-----------------------------------------------------------
|
||
% 1) Makra do dynamicznego przechowywania wartości WS i WO
|
||
%-----------------------------------------------------------
|
||
% Sposób: \setWS{1}{12} -> ustawia "WSvalue1" = "12"
|
||
% \getWS{1} -> rozwija się do "12"
|
||
|
||
\usepackage{pgffor} % umożliwia \foreach
|
||
|
||
|
||
% 1) Makra do dynamicznego przechowywania wartości WS i WO
|
||
\makeatletter
|
||
\newcommand{\setWS}[2]{\expandafter\def\csname WSvalue#1\endcsname{#2}} % np. \setWS{1}{00}
|
||
\newcommand{\getWS}[1]{\csname WSvalue#1\endcsname} % np. \getWS{1} -> "00"
|
||
\newcommand{\setWO}[2]{\expandafter\def\csname WOvalue#1\endcsname{#2}} % np. \setWO{2}{10}
|
||
\newcommand{\getWO}[1]{\csname WOvalue#1\endcsname}
|
||
\makeatother
|
||
|
||
% 2) Ustawiamy wszystkie WS i WO na wartość domyślną "00"
|
||
% (15 WS, 11 WO — zmień, jeśli potrzebujesz innej liczby)
|
||
\foreach \i in {1,...,15}{\setWS{\i}{00}}
|
||
\foreach \j in {1,...,11}{\setWO{\j}{00}}
|
||
|
||
% Definiujemy kolory
|
||
\definecolor{ws}{rgb}{1.0, 0.0, 0.0} % czerwony
|
||
\definecolor{wo}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0} % ciemnozielony
|
||
|
||
% Stopka
|
||
\pagestyle{fancy}
|
||
\fancyhf{} % czyścimy domyślne stopki / nagłówki
|
||
\fancyfoot[L]{%
|
||
\scriptsize % Pomniejszona czcionka w stopce
|
||
\begin{tabular}{@{}l l}
|
||
\textbf{WS:} &
|
||
% Generowanie WS dynamicznie
|
||
\foreach \i in {1,...,15}{%
|
||
\ifnum\i>1 |\fi% Dodaj separator "|" między elementami (bez spacji)
|
||
\textcolor{ws}{1.\i}\textcolor{black}{[\getWS{\i}]}%
|
||
}
|
||
\\
|
||
\textbf{WO:} &
|
||
% Generowanie WO dynamicznie
|
||
\foreach \j in {1,...,11}{%
|
||
\ifnum\j>1 |\fi% Dodaj separator "|" między elementami (bez spacji)
|
||
\textcolor{wo}{%
|
||
\ifcase\j
|
||
\or 1.1% \j = 1
|
||
\or 2.1% \j = 2
|
||
\or 2.2% \j = 3
|
||
\or 3.1% \j = 4
|
||
\or 3.2% \j = 5
|
||
\or 3.3% \j = 6
|
||
\or 3.4% \j = 7
|
||
\or 4.1% \j = 8
|
||
\or 4.2% \j = 9
|
||
\or 4.3% \j = 10
|
||
\or 4.4% \j = 11
|
||
\fi
|
||
}%
|
||
\textcolor{black}{[\getWO{\j}]}%
|
||
}
|
||
\end{tabular}
|
||
\vspace{4pt}
|
||
\hrule
|
||
\vspace{4pt}
|
||
\[
|
||
P_{\mathrm{dział\,max}} = 0
|
||
\quad
|
||
\textcolor{red}{\forall j \in \{1,\dots,N_{WO}\},\; \exists i(j) \in \{1,\dots,N^j_{WS}\}}
|
||
\]
|
||
}
|
||
|
||
% Definiujemy kolor fioletowy (jeśli nie chcesz polegać na wbudowanym 'violet')
|
||
\definecolor{violet}{rgb}{0.5,0.0,0.5}
|
||
\definecolor{darkgreen}{RGB}{0, 100, 0}
|
||
|
||
\newenvironment{solutionbox}[1][]{
|
||
% \begin{tcolorbox}[colback=white,title=#1]
|
||
\begin{tcolorbox}[title={#1}]
|
||
|
||
}{%
|
||
\end{tcolorbox}
|
||
}
|
||
|
||
%-------------------------------------------------------------------------------
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
% Ustawianie wartości WS
|
||
\setWS{0}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{1}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{2}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{3}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{4}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{5}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{6}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{7}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{8}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{9}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{10}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{11}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{12}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{13}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{14}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
\setWS{15}{00} % WS 1.1 = 10
|
||
|
||
% Ustawianie wartości WO
|
||
\setWO{1}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{2}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{3}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{4}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{5}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{6}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{7}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{8}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{9}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{10}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{11}{00} % WO 1.1 = 15
|
||
|
||
%---- Tytuł + miejsce na dane ucznia -------------------------------------------
|
||
\begin{center}
|
||
{\LARGE\bfseries Rozbudowane zadanie z ciągu geometrycznego}\\[6pt]
|
||
\textbf{Maksymalna liczba punktów: 12 (przykład)}\\[2pt]
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\textbf{Imię i nazwisko:} \rule{0.6\textwidth}{0.4pt}\\[4pt]
|
||
\textbf{Klasa / Grupa:} \rule{0.3\textwidth}{0.4pt}
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
|
||
\newpage
|
||
\setWS{4}{04} % WS 1.1 = 10
|
||
|
||
\setWO{1}{02} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{8}{02} % WO 1.1 = 15
|
||
|
||
\setWO{4}{01} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{5}{01} % WO 1.1 = 15
|
||
|
||
\setWO{9}{01} % WO 1.1 = 15
|
||
\setWO{10}{01} % WO 1.1 = 15
|
||
%==============================================================================
|
||
\section*{Treść zadania}
|
||
|
||
|
||
\begin{taskbox}[title={Zadanie z ciągu geometrycznego (rozszerzone)}]
|
||
DDany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem:
|
||
\[
|
||
a_n = 5 \cdot (-2)^{\,n-1}
|
||
\quad
|
||
\text{dla } n \ge 1.
|
||
\]
|
||
Wykonaj następujące polecenia:
|
||
|
||
\begin{enumerate}[label=\bfseries \arabic*)]
|
||
\item Oblicz sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu.
|
||
\item Wyznacz ten wyraz ciągu, który ma wartość \(-80\).
|
||
\item Uzasadnij, czy ciąg \((a_n)\) jest ograniczony z~góry lub z~dołu (lub oba).
|
||
\item Przedstaw \emph{graficznie} (punktowo) wartości ciągu dla \(n = 1,2,3,4,5,6\) i opisz jego własności (np.~monotoniczność, zmienność znaku).
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{taskbox}
|
||
|
||
% \vspace{1em}
|
||
\newpage
|
||
\begin{solutionbox}[title={Zestawienie zadań i przypisanych wymagań}]
|
||
% Ustawiamy wielkość czcionki na 8pt (z odpowiednim interlinią, np. 9.6pt)
|
||
% \fontsize{8pt}{9.6pt}\selectfont
|
||
\fontsize{10pt}{12pt}\selectfont
|
||
% \fontsize{12pt}{14.4pt}\selectfont
|
||
|
||
\textbf{Każdy \WS{} i \WO{} otrzymuje 1 pkt zgodnie z \textbf{SO}.}
|
||
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,label=\textbf{--}]
|
||
\item \textbf{Zadanie 1: Oblicz sumę 6 wyrazów ciągu}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
|
||
\item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Stosuje wzory i własności ciągów geometrycznych”)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
|
||
\item \WO{1.1} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: obliczenie sumy ciągu, podstawianie do wzoru.}}
|
||
|
||
\item \WO{4.1} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Samodzielne uzasadnianie poprawności toku rozumowania”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: wytłumaczenie, dlaczego wzór na sumę jest prawidłowy.}}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Zadanie 2: Wyznacz wyraz ciągu równy \(-80\)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
|
||
\item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Stosuje wyraz ogólny ciągu w zadaniach praktycznych i teoretycznych”)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
|
||
\item \WO{1.1} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Rozwiązywanie równań, w~szczególności wykładniczych”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: w~tym miejscu występuje równanie \(5\cdot(-2)^{k-1}=-80\).}}
|
||
|
||
\item \WO{4.2} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Dostrzeganie regularności i uogólnianie”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: zauważenie naprzemiennego znaku wyrazów i~postępu geometrycznego.}}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Zadanie 3: Uzasadnij ograniczenie ciągu (lub jego brak)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
|
||
\item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Analiza monotoniczności i granic ciągów geometrycznych”)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
|
||
\item \WO{4.1} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Stosowanie rozumowań dedukcyjnych i~dowodów w matematyce”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: argumentacja dotycząca istnienia/nieistnienia ograniczeń.}}
|
||
|
||
\item \WO{4.3} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Opracowywanie strategii rozwiązywania problemów”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: wybór podejścia do badania ograniczoności, np. ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).}}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Zadanie 4: Graficzna reprezentacja ciągu (narysuj punkty)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
|
||
\item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Prezentowanie zagadnień matematycznych w różnych formach graficznych”)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
|
||
\item \WO{3.1} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Stosowanie obiektów matematycznych, np. układu współrzędnych, do opisu sytuacji”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: narysowanie punktów \((n,a_n)\) dla określonych \(n\).}}
|
||
|
||
\item \WO{3.2} \textbf{[1 pkt]} \\
|
||
\emph{(PP: „Interpretowanie wykresów i wyciąganie wniosków z przedstawionych danych”)}
|
||
\\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: omówienie, jak kształtuje się ciąg (monotoniczność, znak, itp.).}}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Suma punktów:}
|
||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||
\item \textbf{Zadanie 1:}
|
||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||
\item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
|
||
\item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
|
||
\item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Zadanie 2:}
|
||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||
\item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
|
||
\item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
|
||
\item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Zadanie 3:}
|
||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||
\item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
|
||
\item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
|
||
\item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textbf{Zadanie 4:}
|
||
\begin{itemize}[noitemsep]
|
||
\item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
|
||
\item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
|
||
\item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\textbf{Łącznie: } \(2 + 2 + 2 + 2 = \boxed{8}\)~pkt.
|
||
\end{solutionbox}
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||
|
||
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||
\section*{Kroki rozwiązania --- struktură drzewiasta (bez pakietu forest)}
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||
\begin{solutionbox}[title={Krok 1: Obliczenie sumy pierwszych 6 wyrazów}]
|
||
\textbf{Cel}: Obliczyć \(\displaystyle S_6 = a_1 + a_2 + \dots + a_6.\)
|
||
|
||
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Stosuje wzory na ciągi geometryczne (szczegół).
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{1.1}} \textbf{[2 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
\[
|
||
\text{Obliczenia sumy: }
|
||
S_6 = a_1 \cdot \frac{1 - q^6}{1 - q},\;
|
||
a_1 = 5,\; q = -2.
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Uzasadnienie poprawności wzoru.
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.1}} \textbf{[1 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
Zastosowany został standardowy wzór na sumę ciągu geometrycznego,
|
||
\(\displaystyle S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}\).
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{solutionbox}
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||
\begin{solutionbox}[title={Krok 2: Wyznaczenie wyrazu ciągu równego \(-80\)}]
|
||
\textbf{Cel}: Rozwiązać równanie \(\displaystyle a_k = -80\).
|
||
|
||
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Wykorzystanie wzoru na wyraz ogólny.
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{1.1}} \textbf{[2 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
\[
|
||
a_k = 5\cdot(-2)^{k-1} = -80.
|
||
\quad \Rightarrow \quad (-2)^{k-1} = -\frac{80}{5} = -16.
|
||
\]
|
||
\[
|
||
\text{Należy znaleźć } k \text{ takie, że } (-2)^{k-1} = -16.
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Dostrzeganie regularności zmian znaku ciągu.
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.2}} \textbf{[1 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
Każdy kolejny wyraz mnożymy przez \(-2\).
|
||
\(\displaystyle -16\) to \((-2)^4\) z~minusem w~„środku”:
|
||
\[
|
||
(-2)^4 = 16, \quad (-2)^5 = -32,
|
||
\quad (-2)^3 = -8, \dots
|
||
\]
|
||
Zatem \(k-1=4\) i \(\,k=5\) (sprawdź znak!).
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{solutionbox}
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||
\begin{solutionbox}[title={Krok 3: Uzasadnienie ograniczenia ciągu (z góry lub z dołu)}]
|
||
\textbf{Cel}: Sprawdzić, czy \((a_n)\) jest ograniczony.
|
||
|
||
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Analiza wielkości wyrazów.
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.1}} \textbf{[2 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
\[
|
||
|a_n| = |5 \cdot (-2)^{n-1}| = 5 \cdot 2^{n-1},
|
||
\]
|
||
co \emph{rośnie} wraz z~\(n\). Zatem nie jest ograniczony z~góry.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Strategia dowodzenia (gdzie występuje ograniczenie).
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.3}} \textbf{[1 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
Ponieważ wyrazy mają naprzemienny znak (+/–), w~jednych krokach są dodatnie i~rosną \emph{wartościowo}, w~innych ujemne (o~coraz większej wartości bezwzględnej).
|
||
Ciąg \emph{nie jest} ograniczony ani z~góry, ani z~dołu (wartości ujemne też rosnąco \emph{maleją}).
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{solutionbox}
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
|
||
%------------------------------------------------------------------------------
|
||
\begin{solutionbox}[title={Krok 4: Graficzna reprezentacja ciągu (dla n=1..6)}]
|
||
\textbf{Cel}: Narysować punkty \((n, a_n)\) i~zinterpretować.
|
||
|
||
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Wykres punktowy (obiekt matematyczny).
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{3.1}} \textbf{[2 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
Nanosimy na płaszczyznę punkty:
|
||
\[
|
||
(1,5), (2,-10), (3,20), (4,-40), (5,80), (6,-160).
|
||
\]
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Interpretacja reprezentacji (monotoniczność, tendencje).
|
||
\begin{itemize}[label=$\circ$]
|
||
\item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{3.2}} \textbf{[1 pkt]}:
|
||
\begin{itemize}[label=$\diamond$]
|
||
\item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
|
||
Widzimy naprzemienne przejścia przez wartości dodatnie i~ujemne,
|
||
przy czym \(|a_n|\) rośnie dwukrotnie z~każdym krokiem.
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{itemize}
|
||
\end{solutionbox}
|
||
|
||
\vspace{1em}
|
||
\section*{Uwagi końcowe (przykładowe obliczenia)}
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \(\displaystyle S_6\) można wyliczyć:
|
||
\[
|
||
S_6 = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^6}{1-(-2)}
|
||
= 5 \cdot \frac{1 - 64}{1 + 2}
|
||
= 5 \cdot \frac{-63}{3} = 5 \cdot (-21) = -105.
|
||
\]
|
||
\item Warunek \(\,a_k = -80\) daje \(\,k = 5\) (warto sprawdzić znak).
|
||
\item \(|a_n|\) rośnie wykładniczo, więc ciąg nie jest ograniczony.
|
||
\item Wykres: punkty „skaczą” raz w~dół, raz w~górę, z~rozwijającą się wartością bezwzględną.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\end{document}
|