so/praca-pisemna/main.tex
2025-02-09 13:38:44 +01:00

468 lines
15 KiB
TeX
Raw Blame History

This file contains ambiguous Unicode characters

This file contains Unicode characters that might be confused with other characters. If you think that this is intentional, you can safely ignore this warning. Use the Escape button to reveal them.

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% --------------------------------------------------------
% Pakiety i podstawowa konfiguracja
% --------------------------------------------------------
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{forest}
\geometry{margin=2cm}
% Konfiguracja środowiska do rysowania drzew (forest):
\forestset{
mytree/.style={
for tree={
draw,
rounded corners,
align=center,
edge={->},
parent anchor=south,
child anchor=north
}
}
}
\begin{document}
% --------------------------------------------------------
% Wzory wykorzystywane w Szczegółowym Ocenianiu (SO)
% --------------------------------------------------------
\section*{Wzory wykorzystywane w Szczegółowym Ocenianiu (SO)}
\begin{itemize}
\item \textbf{(Wzór 1) Maksymalna liczba punktów za zadanie:}
\[
P_{\mathrm{max}}^{\mathrm{zad}}
\;=\;
\sum_{i=1}^{N_{WS}}
\Bigl( w_{s_i} \times \sum_{j=1}^{N_{WO}^i} w_{o_j} \Bigr),
\]
gdzie \(N_{WS}\) to liczba Wymagań Szczegółowych, \(N_{WO}^i\) to liczba Wymagań Ogólnych
przypisanych do \(i\)-tego WS, a \(w_{s_i}, w_{o_j}\) to wagi poszczególnych wymagań.
\item \textbf{(Wzór 3) Procent uzyskanych punktów (np. do wyznaczenia oceny):}
\[
\%\;=\;\frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\text{max}}} \times 100\%.
\]
\item \textbf{(Wzór 4) Ocena z danej formy (np. kartkówki):}
\[
O_{\text{forma}}
\;=\;
\frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{zad}}} O_{\text{zad}_k}}{N_{\text{zad}}},
\]
gdzie \(O_{\text{zad}_k}\) to ocena z \(k\)-tego zadania, a \(N_{\text{zad}}\) to liczba zadań
danej formy.
\item \textbf{(Wzór 5) Ocena z działu:}
\[
O_{\text{dział}}
\;=\;
\frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{form}}} O_{\text{form}_k}}{N_{\text{form}}},
\]
czyli średnia ocen z~wszystkich form sprawdzania wiedzy w~danym dziale.
\item \textbf{(Wzór 6) Ocena z poziomu nauczania (np. semestr/rok):}
\[
O_{\text{poziom}}
\;=\;
\frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{dział}}} O_{\text{dział}_k}}{N_{\text{dział}}}.
\]
\end{itemize}
\bigskip
% --------------------------------------------------------
% 1. Wstęp: Szczegółowe Ocenianie (SO) - idea
% --------------------------------------------------------
\section*{Wstęp: Szczegółowe Ocenianie (SO)}
\noindent
\textbf{Idea:} Każde zadanie (egzaminacyjne, kartkowe, sprawdzianowe itp.)
zostało rozbite na \emph{Wymagania Szczegółowe (WS)}.
Każdy \textbf{WS} jest dodatkowo oceniany przez pewne \textbf{Wymagania Ogólne (WO)},
które sprawdzają takie aspekty jak:
\begin{itemize}
\item \textbf{WO$_1$} -- sprawność rachunkowa,
\item \textbf{WO$_2$} -- wykorzystanie i tworzenie informacji,
\item \textbf{WO$_3$} -- wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji,
\item \textbf{WO$_4$} -- rozumowanie i argumentacja.
\end{itemize}
\noindent
\textbf{Punktacja typu TAK/NIE:}
Dla każdego \textbf{WS--WO} sprawdzamy, czy jest \emph{zrealizowane}
(w~rozwiązaniu widać spełnienie tego wymagania) czy \emph{nie}.
Jeśli \textbf{TAK}, przyznajemy ustaloną liczbę punktów (np.~1).
Jeśli \textbf{NIE}, to 0 punktów.
Następnie zliczamy punkty w zadaniu i porównujemy z maksymalną liczbą punktów dla zadania.
\bigskip
% --------------------------------------------------------
% 2. Zadanie 1
% --------------------------------------------------------
\section*{Zadanie 1: Wyrażenia z pierwiastkami i potęgami}
\noindent
\textbf{Treść zadania:}\\
Oblicz wartość wyrażenia:
\[
\sqrt{16} + 2^{-3}.
\]
Uzasadnij krótko swoje kroki (np. dlaczego \(\sqrt{16}=4\),
czemu \(2^{-3}=\tfrac{1}{8}\)), a następnie podaj
\emph{praktyczną interpretację} (np.~co oznacza potęga ujemna
w kontekście zmniejszenia skali pewnych wielkości).
\subsection*{Wymagania Szczegółowe (WS) i przyporządkowane Wymagania Ogólne (WO)}
\begin{itemize}
\item \textbf{WS$_1$:} Wykonuje działania na liczbach rzeczywistych z wykorzystaniem pierwiastków i potęg.\\
\textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_4$)}
\item \textbf{WS$_2$:} Stosuje potęgi i pierwiastki w kontekstach praktycznych.\\
\textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_2$)}
\end{itemize}
\subsection*{Drzewo wymagań (Zadanie 1) -- schemat}
\begin{forest}
mytree
[Zadanie 1
[WS$_1$
[WO$_1$]
[WO$_4$]
]
[WS$_2$
[WO$_1$]
[WO$_2$]
]
]
\end{forest}
\subsection*{Wagi i punktacja maksymalna}
Dla uproszczenia przyjmujemy, że każda para \textbf{WS--WO} ma wagę = 1 pkt.
\[
\underbrace{\text{WS}_1 \times (\text{WO}_1 + \text{WO}_4)}_{2\,\text{pkt}}
\;+\;
\underbrace{\text{WS}_2 \times (\text{WO}_1 + \text{WO}_2)}_{2\,\text{pkt}}
\;=\;
4\,\text{pkt}.
\]
Zatem:
\[
P_{\max}^{(\text{Zadanie 1})} = 4.
\]
\subsection*{Przykład pełnego rozwiązania i oceniania (Zadanie 1)}
\begin{enumerate}
\item \(\sqrt{16} = 4\).
\begin{itemize}
\item \textbf{WS$_1$, WO$_1$} (sprawność rachunkowa): \textbf{TAK} = 1 pkt
\item \textbf{WS$_1$, WO$_4$} (rozumowanie, uzasadnienie): np.~krótka argumentacja, że \(16=4^2\).
\textbf{TAK} = 1 pkt
\end{itemize}
\item \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).
\begin{itemize}
\item \textbf{WS$_2$, WO$_1$}: dalsza poprawność rachunkowa (0,125). \textbf{TAK} = 1 pkt
\item \textbf{WS$_2$, WO$_2$}: podanie \emph{interpretacji praktycznej} (np.~zmniejszenie 8-krotne).
\textbf{TAK} = 1 pkt
\end{itemize}
\item Ostateczny wynik: \(4 + \frac{1}{8} = 4{,}125\). (Sama suma nie wnosi kolejnego punktu,
bo i tak weryfikację \emph{rachunkową} już oceniono przy \textbf{WO$_1$}.)
\end{enumerate}
\noindent
\textbf{Suma punktów:} \(1 + 1 + 1 + 1 = 4 \,(\text{max} =4)\).\\
\textbf{Procentowo:} \(\frac{4}{4}\times 100\% = 100\%\).
\bigskip
\subsection*{Przykład błędu (rozwiązanie częściowo poprawne, ale bez punktów za błędny element)}
\begin{itemize}
\item \(\sqrt{16} = 4\) -- poprawnie.\\
\textbf{(WS$_1$, WO$_1$)}: TAK = 1 punkt.
\item Brak uzasadnienia (dlaczego \(\sqrt{16} = 4\)),
więc \textbf{(WS$_1$, WO$_4$)}: NIE = 0 punktów.
\item \(2^{-3}\) błędnie podane jako \(-8\).\\
\textbf{(WS$_2$, WO$_1$)}: NIE = 0 punktów (brak poprawnego rachunku).
\item Brak jakiejkolwiek interpretacji praktycznej (potęgi ujemne).\\
\textbf{(WS$_2$, WO$_2$)}: NIE = 0 punktów.
\end{itemize}
\noindent
\textbf{Suma punktów:} \(1 + 0 + 0 + 0 = 1\).\\
\textbf{Punktacja maksymalna w~Zadaniu 1:} 4.\\
\[
\text{Procent} \;=\; \frac{1}{4} \times 100\% \;=\; 25\%.
\]
% --------------------------------------------------------
% 3. Zadanie 2
% --------------------------------------------------------
\section*{Zadanie 2: Trójkąt prostokątny i funkcje trygonometryczne}
\noindent
\textbf{Treść zadania:}\\
Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3\,cm i 4\,cm.
\begin{itemize}
\item[(a)] Oblicz długość przeciwprostokątnej (Twierdzenie Pitagorasa).
\item[(b)] Wyznacz \(\sin\) oraz \(\cos\) kątów ostrych tego trójkąta.
\item[(c)] Uzasadnij krótko tożsamość \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
\end{itemize}
\subsection*{Wymagania Szczegółowe (WS) i przyporządkowane Wymagania Ogólne (WO)}
\begin{itemize}
\item \textbf{WS$_3$:} Stosuje funkcje trygonometryczne w trójkątach prostokątnych
(obliczanie boków, kątów itp.).\\
\textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_3$, WO$_4$)}
\item \textbf{WS$_4$:} Rozwiązuje zadania z Twierdzeniem Pitagorasa.\\
\textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_2$, WO$_4$)}
\end{itemize}
\subsection*{Drzewo wymagań (Zadanie 2) -- schemat}
\begin{forest}
mytree
[Zadanie 2
[WS$_3$
[WO$_1$]
[WO$_3$]
[WO$_4$]
]
[WS$_4$
[WO$_1$]
[WO$_2$]
[WO$_4$]
]
]
\end{forest}
\subsection*{Wagi i punktacja maksymalna}
Każda para \textbf{WS--WO} = 1 pkt:
\[
\underbrace{(\text{WS}_3 \times 3\,\text{WO})}_{3\,\text{pkt}}
\;+\;
\underbrace{(\text{WS}_4 \times 3\,\text{WO})}_{3\,\text{pkt}}
\;=\;
6\,\text{pkt}.
\]
\[
P_{\max}^{(\text{Zadanie 2})} = 6.
\]
\subsection*{Przykład pełnego rozwiązania i oceniania (Zadanie 2)}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Twierdzenie Pitagorasa (WS$_4$):}\\
\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\)
\begin{itemize}
\item \textbf{WO$_1$} (poprawny rachunek): TAK = 1 pkt
\item \textbf{WO$_2$} (wykorzystanie info, np.~rysunek lub tabela danych):
\emph{jeśli} uczeń załączy krótki schemat lub opis. TAK = 1 pkt
\item \textbf{WO$_4$} (rozumowanie): np.~wyjaśnienie, dlaczego Pitagoras tu działa. TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\item \textbf{Funkcje trygonometryczne (WS$_3$):}\\
\(\sin\alpha = \tfrac{3}{5}, \;\cos\alpha = \tfrac{4}{5};\;\)
\(\sin\beta = \tfrac{4}{5}, \;\cos\beta = \tfrac{3}{5}\).
\begin{itemize}
\item \textbf{WO$_1$} -- dalsza poprawność rachunkowa: TAK = 1 pkt
\item \textbf{WO$_3$} -- interpretacja kątów, np.~z rysunku: TAK = 1 pkt
\item \textbf{WO$_4$} -- argumentacja: dlaczego akurat \(\frac{3}{5}\) i \(\frac{4}{5}\). TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\item \textbf{Tożsamość} \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).\\
(Zwykle ocenimy w ramach \textbf{WS$_3$, WO$_4$} -- jeżeli uczeń pokaże krótkie uzasadnienie
z interpretacji geometrycznej. Może to też być zaliczone w poprzednim punkcie.)
\end{enumerate}
\noindent
\textbf{Maksimum:} \(6/6\) pkt \(\to 100\%\).
\subsection*{Przykład częściowej realizacji: szczegółowa punktacja (Zadanie 2)}
\noindent
\textbf{Zadanie 2:} (maks. 6 pkt)
\bigskip
\textbf{WS\textsubscript{4}: Twierdzenie Pitagorasa (3 pkt)}
\begin{itemize}
\item \textbf{WO\textsubscript{1}} (poprawny rachunek):
\begin{itemize}
\item Uczeń oblicza przeciwprostokątną: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
\item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\item \textbf{WO\textsubscript{2}} (wykorzystanie informacji / rysunek):
\begin{itemize}
\item Dodany jest prosty schemat trójkąta z zaznaczeniem boków 3 i 4 cm.
\item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\item \textbf{WO\textsubscript{4}} (rozumowanie / argumentacja):
\begin{itemize}
\item Uczeń wyjaśnia, dlaczego używamy Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym.
\item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\end{itemize}
\noindent
Suma za WS\textsubscript{4} = 3/3 pkt.
\bigskip
\textbf{WS\textsubscript{3}: Funkcje trygonometryczne w trójkącie (3 pkt)}
\begin{itemize}
\item \textbf{WO\textsubscript{1}} (rachunek):
\begin{itemize}
\item Podano \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) rachunkowo poprawnie.
\item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\item \textbf{WO\textsubscript{3}} (interpretowanie reprezentacji):
\begin{itemize}
\item Uczeń wskazuje, że kąt \(\alpha\) leży przy przyprostokątnej długości 3 (np. z krótkim opisem).
\item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
\end{itemize}
\item \textbf{WO\textsubscript{4}} (rozumowanie i argumentacja):
\begin{itemize}
\item Brak uzasadnienia wzorów lub tożsamości \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
\item \(\Rightarrow\) NIE = 0 pkt
\end{itemize}
\end{itemize}
\noindent
Suma za WS\textsubscript{3} = 2/3 pkt.
\bigskip
\textbf{Łączna liczba punktów (Zad. 2)}: \(3 + 2 = 5\) / 6.
\[
\text{Procent} = \frac{5}{6} \times 100\% \approx 83{,}3\%.
\]
\noindent
W przykładowej skali progowej (\(80\%-94\%\)) oznacza to ocenę: 5 (bdb).
\bigskip
% --------------------------------------------------------
% 4. Skala ocen i przeliczanie punktów
% --------------------------------------------------------
\section*{Skala ocen i przeliczanie punktów na ocenę}
\subsection*{Krok 1: Suma punktów zadań i obliczenie \%}
\begin{itemize}
\item \(\displaystyle P_{\max}^{(\text{Zadanie 1})} = 4\)
\item \(\displaystyle P_{\max}^{(\text{Zadanie 2})} = 6\)
\item \textbf{Suma maksymalna} w tej formie sprawdzania wiedzy (np.~kartkówce):
\[
P_{\max}^{(\text{forma})} = 4 + 6 = 10.
\]
\item Po sprawdzeniu obu zadań, zliczamy \textbf{punkty uzyskane}
(np.~\(P_{\text{zdobyte}} = 8\)).
\item \textbf{Procent}:
\[
\%\;=\;\frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\max}^{(\text{forma})}} \times 100\%.
\]
Przykład:
\(\frac{8}{10} \times 100\% = 80\%\).
\end{itemize}
\subsection*{Krok 2: Mapowanie procentu na ocenę szkolną (1--6)}
Proponowana \textbf{skala procentowa} (dostosowana do wewnątrzszkolnego oceniania):
\[
\begin{aligned}
&0\%-29\% &&\;\;\to 1\ (\text{niedostateczny}),\\
&30\%-49\% &&\;\;\to 2\ (\text{dopuszczający}),\\
&50\%-64\% &&\;\;\to 3\ (\text{dostateczny}),\\
&65\%-79\% &&\;\;\to 4\ (\text{dobry}),\\
&80\%-94\% &&\;\;\to 5\ (\text{bardzo dobry}),\\
&\ge 95\% &&\;\;\to 6\ (\text{celujący}).
\end{aligned}
\]
\emph{Przykład:} jeśli ktoś uzyskał 80\%, to w tej skali otrzymuje ocenę 5 (bdb).
\subsection*{Krok 3: Wpis do dziennika (skala 0--10 pkt z kartkówki)}
Czasem nauczyciel wewnętrznie (w dzienniku) woli notować \emph{liczbę punktów 0--10}
zamiast oceny w skali 1--6.
W takiej sytuacji:
\[
\text{punkty\_0-10}
\;=\;
\bigl\lfloor\, (\% / 100) \times 10 \bigr\rceil \quad
\text{(np. zaokrąglenie do jednego miejsca po przecinku lub do całości).}
\]
\emph{Przykład:} 80\% \(\to\) \((0.80)\times 10=8\) punktów w dzienniku.
\bigskip
% --------------------------------------------------------
% 5. Podsumowanie
% --------------------------------------------------------
\section*{Podsumowanie: kroki oceniania w praktyce}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Weryfikacja WS--WO} w każdym zadaniu:
\begin{itemize}
\item Sprawdzasz, czy \textbf{WS$_i$, WO$_j$} jest spełnione (TAK = 1 pkt, NIE = 0 pkt).
\item Sumujesz wszystkie przyznane punkty.
\end{itemize}
\item \textbf{Punkty za zadanie} = liczba zrealizowanych \textbf{WS--WO} / maksymalna możliwa liczba.
\begin{itemize}
\item Np. w Zadaniu~1 \(\max = 4\), w Zadaniu~2 \(\max = 6\).
\end{itemize}
\item \textbf{Punkty łączne (forma)} = \(\sum\) punktów zadań.
\(\quad P_{\max}^{(\text{forma})} = \sum\) (maksymalna punktacja zadań).
\item \textbf{Wyznaczenie procentu}:
\[
\%\;=\;\frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\max}^{(\text{forma})}} \times 100\%.
\]
\item \textbf{Określenie oceny (1--6)} na podstawie progu procentowego (tablica powyżej).
\item \textbf{(Opcjonalnie) Przeliczenie na skalę 0--10} i wpis do dziennika.
\[
\text{punkty\_0-10}
\;=\;
\bigl\lfloor\, (\% / 100)\times 10 \bigr\rceil.
\]
\end{enumerate}
\bigskip
\noindent
\textbf{Przykład końcowy:}\\
Uczeń w Zadaniu~1 zdobył 3/4 pkt, w Zadaniu~2 zdobył 5/6 pkt,
czyli łącznie 8/10 (co daje \(80\%\)).
Skala procentowa: \(80\%\to5\) (bardzo dobry).
W dzienniku nauczyciel może wpisać \textbf{8/10}~pkt (lub 5 bdb).
\bigskip
\end{document}