145 lines
4.7 KiB
TeX
145 lines
4.7 KiB
TeX
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage[T1]{fontenc}
|
||
\usepackage{lmodern}
|
||
\usepackage{amsmath,amssymb}
|
||
\usepackage{geometry}
|
||
\usepackage{enumitem}
|
||
\usepackage{array}
|
||
\usepackage{booktabs}
|
||
\geometry{left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=2cm}
|
||
\setlength{\parskip}{0.5em}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
%========================================
|
||
% Dane podstawowe
|
||
%========================================
|
||
\begin{center}
|
||
{\Large \textbf{Autor: MM, JG}}\\[5pt]
|
||
{\Large \textbf{Przedmiot: Matematyka}}\\[5pt]
|
||
{\Large \textbf{Poziom nauczania: Liceum}}\\[5pt]
|
||
{\Large \textbf{Zakres: Podstawowy}}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\vspace{1cm}
|
||
|
||
%========================================
|
||
% Treść zadania
|
||
%========================================
|
||
\section*{Treść zadania}
|
||
Udowodnij, że dla dowolnej liczby całkowitej \( n \) zachodzi:
|
||
\[
|
||
n^2 \equiv 0 \quad \text{lub} \quad n^2 \equiv 1 \pmod{4}.
|
||
\]
|
||
(Innymi słowy, kwadrat każdej liczby całkowitej po podzieleniu przez 4 daje resztę 0 lub 1.)
|
||
|
||
%========================================
|
||
% Wymagania szczegółowe (WS)
|
||
%========================================
|
||
\section*{Realizowane Wymagania Szczegółowe (WS)}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=*, label=--]
|
||
\item \textbf{WS1:} Przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
%========================================
|
||
% Wymagania ogólne (WG) – podstawa programowa dla liceum
|
||
%========================================
|
||
\section*{Wymagania ogólne (WG) podlegające ocenie}
|
||
\begin{itemize}[leftmargin=*, label=--]
|
||
\item \textbf{W1.1:} Sprawność rachunkowa (wykonywanie obliczeń oraz stosowanie praw działań matematycznych).
|
||
\item \textbf{W2.2:} Wykorzystanie i tworzenie informacji (używanie języka matematycznego do opisu rozumowań i uzasadniania wniosków).
|
||
\item \textbf{W3.1:} Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji (stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi).
|
||
\item \textbf{W4.1:} Rozumowanie i argumentacja (przeprowadzanie rozumowań oraz uzasadnianie poprawności rozwiązań).
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
%========================================
|
||
% Rozwiązanie – Każdy krok w 2 wierszach
|
||
%========================================
|
||
\section*{Rozwiązanie}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\textbf{Krok 1: Uogólnienie liczby całkowitej.}\\[2mm]
|
||
Niech \( n \) będzie dowolną liczbą całkowitą. Możemy zapisać:
|
||
\[
|
||
n = 2k \quad \text{(dla \( n \) parzystego)} \quad \text{lub} \quad n = 2k+1 \quad \text{(dla \( n \) nieparzystego)},
|
||
\]
|
||
gdzie \( k \in \mathbb{Z} \).\\[2mm]
|
||
\textit{Realizacja wymagań: \textbf{W3.1, W2.2}.}
|
||
|
||
\vspace{0.5cm}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\textbf{Krok 2: Rozpatrzenie przypadku \( n = 2k \).}\\[2mm]
|
||
Dla \( n = 2k \) mamy:
|
||
\[
|
||
n^2 = (2k)^2 = 4k^2.
|
||
\]
|
||
Skoro \( 4k^2 \) jest podzielne przez 4, to:
|
||
\[
|
||
n^2 \equiv 0 \pmod{4}.
|
||
\]\\[2mm]
|
||
\textit{Realizacja wymagań: \textbf{W1.1, W4.1}.}
|
||
|
||
\vspace{0.5cm}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\textbf{Krok 3: Rozpatrzenie przypadku \( n = 2k+1 \).}\\[2mm]
|
||
Dla \( n = 2k+1 \) mamy:
|
||
\[
|
||
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2+k) + 1.
|
||
\]
|
||
Skoro \( 4(k^2+k) \) jest podzielne przez 4, to:
|
||
\[
|
||
n^2 \equiv 1 \pmod{4}.
|
||
\]\\[2mm]
|
||
\textit{Realizacja wymagań: \textbf{W1.1, W4.1}.}
|
||
|
||
\vspace{0.5cm}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\textbf{Krok 4: Wniosek końcowy.}\\[2mm]
|
||
Z rozpatrzenia obu przypadków wynika, że:
|
||
\[
|
||
n^2 \equiv 0 \quad \text{lub} \quad n^2 \equiv 1 \pmod{4}.
|
||
\]\\[2mm]
|
||
\textit{Realizacja wymagań: \textbf{W4.1, W2.2}.}
|
||
|
||
\vspace{1cm}
|
||
|
||
%========================================
|
||
% Podsumowanie oceny – tabela z wagami
|
||
%========================================
|
||
\section*{Podsumowanie oceny}
|
||
\begin{table}[h]
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
|
||
\hline
|
||
\textbf{Wymaganie} & \textbf{Liczba wystąpień} & \textbf{Waga przy wystąpieniu} & \textbf{Łącznie punktów} \\
|
||
\hline
|
||
W1.1 & 2 & 0.5 & 1 \\
|
||
\hline
|
||
W2.2 & 2 & 0.5 & 1 \\
|
||
\hline
|
||
W3.1 & 1 & 1 & 1 \\
|
||
\hline
|
||
W4.1 & 3 & 0.33 & 1 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\caption{Waga i procentowy udział poszczególnych wymagań w zadaniu.}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
\noindent
|
||
\textbf{Ocena końcowa:} Ocena jest ustalana na podstawie procentowej realizacji wymagań ogólnych. Aby uzyskać daną ocenę, uczeń musi spełnić określoną liczbę punktów w systemie WO, zgodnie z poniższą klasyfikacją:
|
||
\begin{enumerate}[label=\textbf{\arabic*.}]
|
||
\item \textbf{Ocena 6 (celująca)} – spełnione co najmniej 95\% wymagań ogólnych na 95\% na \%.
|
||
\item \textbf{Ocena 5 (bardzo dobra)} – spełnione co najmniej 80\% na 80\%.
|
||
\item \textbf{Ocena 4 (dobra)} – spełnione co najmniej 65\% na 65\%.
|
||
\item \textbf{Ocena 3 (dostateczna)} – spełnione co najmniej 50\% na 50\%.
|
||
\item \textbf{Ocena 2 (dopuszczająca)} – spełnione co najmniej 30\% na 30\%.
|
||
\item \textbf{Ocena 1 (niedostateczna)} – niespełnienie żadneggo z powyższych warunków.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\end{document}
|
||
|