\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% --- POLSKIE ZNAKI I KODOWANIE ---
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[polish]{babel}

% --- PODSTAWOWE PAKIETY ---
\usepackage{lmodern}    % Lepsze fonty wektorowe
\usepackage{amsmath}    % Symbole matematyczne
\usepackage{amssymb}
\usepackage{microtype}  % Poprawia wygląd tekstu (mikrotypografia)
\usepackage{geometry}   % Ustawienia marginesów
\usepackage{enumitem}   % Bardziej rozbudowane listy wypunktowane / numerowane

\geometry{
  a4paper,
  top=2cm,
  bottom=2.5cm,
  left=2.5cm,
  right=2.5cm
}

\begin{document}

\section*{Uzasadnienie do Wzorów i Przyjętego Podejścia Punktowego}

\paragraph{Wprowadzenie: Dlaczego dzielimy na Wymagania Szczegółowe i Ogólne?}
\begin{itemize}
  \item \textbf{Wymagania Szczegółowe (WS)} określają \emph{konkretne treści kształcenia} 
        (wiedzę i~umiejętności), które uczeń ma opanować w~obrębie danego działu/rozdziału. 
        Innymi słowy, WS to \textbf{dokładnie zdefiniowane kompetencje} 
        (np. rozwiązywanie równań, interpretacja danych, działania na pierwiastkach itp.).

  \item \textbf{Wymagania Ogólne (WO)} są \emph{szerszymi kategoriami oceniania}, opisującymi 
        \textbf{kluczowe kompetencje}, jakie uczeń powinien rozwijać 
        (np. rozumowanie i argumentacja, sprawność rachunkowa, wykorzystywanie informacji).

  \item Zadania sprawdzające mają \emph{realizować Wymagania Szczegółowe}, a~ich ocenianie 
        dokonywane jest przez pryzmat \textbf{Wymagań Ogólnych}.

  \item Takie \textbf{dwupoziomowe} podejście zapewnia:
  \begin{itemize}
    \item \textbf{Przejrzystość oceny}: uczeń wie, \emph{jakie} treści (WS) 
          i \emph{jakie kompetencje} (WO) są oceniane.
    \item \textbf{Skuteczne planowanie dydaktyczne}: nauczyciel komponuje zadania tak, 
          by \emph{każde} wymaganie szczegółowe było sprawdzone \emph{co najmniej raz}, 
          a~uczeń wykazał się też odpowiednimi umiejętnościami z~zakresu WO.
    \item \textbf{Sprawiedliwość oceniania}: zadania łączące \emph{wiele} WO 
          (np. sprawność rachunkową \emph{i} rozumowanie) mają wyższą punktację, 
          co oddaje rzeczywistą złożoność zadania.
  \end{itemize}
\end{itemize}

\paragraph{1. Wzór na maksymalną liczbę punktów za zadanie}
\[
  P^{\max}_{\text{zad}} 
  = \sum_{i=1}^{N_{W_S}} 
      \Bigl( w_{s_i} 
      \times \sum_{j=1}^{N^i_{W_O}} w_{o_j} \Bigr).
\]

\begin{itemize}
  \item \(\displaystyle P^{\max}_{\text{zad}}\) -- \textbf{maksymalna liczba punktów} za dane zadanie.
  \item \(\displaystyle N_{W_S}\) -- liczba Wymagań Szczegółowych, które zadanie sprawdza.
  \item \(\displaystyle w_{s_i}\) -- waga (istotność) \(i\)-tego Wymagania Szczegółowego.
  \item \(\displaystyle N^i_{W_O}\) -- liczba Wymagań Ogólnych związanych z~\(i\)-tym WS.
  \item \(\displaystyle w_{o_j}\) -- waga (istotność) \(j\)-tego Wymagania Ogólnego.
\end{itemize}

\emph{Uzasadnienie}:
\begin{itemize}
  \item Jedno zadanie może łączyć \emph{kilka} Wymagań Szczegółowych (np. obliczenia i rysowanie wykresów).
  \item Każde WS może być oceniane w~ramach \emph{jednego lub kilku} Wymagań Ogólnych 
        (np. trzeba i~sprawnie liczyć, i~logicznie uzasadniać).
  \item Mnożąc wagi \(w_{s_i}\) przez sumę wag \(w_{o_j}\), otrzymujemy \emph{łączną} punktację, 
        która rośnie, gdy zadanie wymaga większej liczby kompetencji (WO).
\end{itemize}

\paragraph{2. Wzory na minimalną liczbę punktów w dziale}
\[
  P^{\min}_{\text{dział}}
  = \min \left\{
      \sum_{i=1}^{N_{W_S}}
        \bigl( w_{s_i} \times w_{o_{j(i)}} \bigr)
    \right\}
  \quad \text{oraz} \quad
  \forall i \in \{1, \dots, N_{W_S}\}, 
  \exists\, j(i) \in \{1, \dots, N_{W_O}^i\}.
\]

\begin{itemize}
  \item \(\displaystyle P^{\min}_{\text{dział}}\) to próg \emph{minimalny} punktów, 
        gwarantujący, że \emph{wszystkie} Wymagania Szczegółowe i przypisane im Wymagania Ogólne 
        zostały przynajmniej \emph{w minimalnym stopniu} opanowane.
  \item Warunek \(\exists\, j(i)\) oznacza, że \textbf{dla każdego} WS trzeba \emph{wybrać co najmniej jedno} WO, 
        aby uznać je za zrealizowane.
\end{itemize}

\emph{Uzasadnienie}:
\begin{itemize}
  \item Uniemożliwia to sytuację, w której uczeń \emph{pominie} pewne Wymaganie Szczegółowe, 
        a~nadrabia punktację innymi. 
  \item Chroni też przed wystawianiem oceny pozytywnej w momencie, gdy \emph{istotna część} treści 
        nie jest w ogóle opanowana.
\end{itemize}

\paragraph{3. Wzór na maksymalną liczbę punktów w dziale}
\[
  P^{\max}_{\text{dział}}
  = \sum_{k=1}^{N_{\text{zad}}}
      P^{\max}_{\text{zad}_k}.
\]

\begin{itemize}
  \item \(\displaystyle N_{\text{zad}}\) -- liczba wszystkich zadań w danym dziale.
  \item \(\displaystyle P^{\max}_{\text{zad}_k}\) -- maksymalna punktacja za \(k\)-te zadanie.
\end{itemize}

\emph{Uzasadnienie}:
\begin{itemize}
  \item Skoro dział składa się z wielu zadań, \emph{naturalne} jest, by sumować ich maksymalne punktacje 
        w celu uzyskania pełnego \emph{pułapu} punktowego.
  \item Zapewnia to \textbf{jednoznaczność oceny} -- uczeń wie, że \(\displaystyle P^{\max}_{\text{dział}}\) 
        odpowiada pełnemu i poprawnemu wykonaniu \emph{wszystkich} zadań z działu.
\end{itemize}

\paragraph{4. Wzory na minimalną i maksymalną liczbę punktów na poziomie}
\[
  P^{\min}_{\text{poziom}}
  = \sum_{k=1}^{N_{\text{dział}}}
      P^{\min}_{\text{dział}_k},
  \quad\quad
  P^{\max}_{\text{poziom}}
  = \sum_{k=1}^{N_{\text{dział}}}
      P^{\max}_{\text{dział}_k}.
\]

\begin{itemize}
  \item \(\displaystyle N_{\text{dział}}\) -- liczba działów (rozdziałów) w danym \emph{poziomie nauczania}.
  \item \(\displaystyle P^{\min}_{\text{dział}_k}\) oraz \(\displaystyle P^{\max}_{\text{dział}_k}\) 
        to odpowiednio minimalna i maksymalna punktacja dla działu \(k\).
\end{itemize}

\emph{Uzasadnienie}:
\begin{itemize}
  \item Poziom (np. klasa I LO) obejmuje kilka działów. Aby uznać, że uczeń \emph{zaliczył} 
        cały poziom, musi \emph{spełnić minima} punktowe we wszystkich działach 
        (suma minimalnych punktów).
  \item Maksymalna łączna punktacja pokazuje \emph{pełny} zakres tego, co można opanować 
        na danym poziomie.
\end{itemize}

\paragraph{5. Przeliczanie punktów na oceny}
\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
  \item \textbf{Procentowy udział punktów w zadaniu:}
  \[
    \% = \frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\text{max}}} \times 100\%.
  \]
  \emph{(Umożliwia proste ustalanie progów punktowych w formie procentowej.)}

  \item \textbf{Ocena z formy sprawdzania wiedzy:}
  \[
    O_{\text{forma}}
    = \frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{zad}}} O_{\text{zad}_k}}{N_{\text{zad}}}.
  \]
  \emph{(Średnia ocen z poszczególnych zadań w ramach jednej pracy pisemnej, projektu itp.)}

  \item \textbf{Ocena za dział:}
  \[
    O_{\text{dział}}
    = \frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{form}}} O_{\text{form}_k}}{N_{\text{form}}}.
  \]
  \emph{(Średnia ocen ze wszystkich form sprawdzania w danym dziale.)}

  \item \textbf{Ocena za poziom nauczania:}
  \[
    O_{\text{poziom}}
    = \frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{dział}}} O_{\text{dział}_k}}{N_{\text{dział}}}.
  \]
  \emph{(Średnia ocen ze wszystkich działów na określonym poziomie.)}
\end{enumerate}

\paragraph{Dlaczego takie podejście jest optymalne?}
\begin{itemize}
  \item \textbf{Zgodność z Podstawą Programową} -- PP wyróżnia \emph{konkretne zagadnienia} (co?) 
        i~\emph{ogólne kompetencje} (jak?). 
        Nasz system \emph{łączy je} w spójny, zrozumiały sposób (WS + WO).
  \item \textbf{Przejrzystość i motywacja} -- uczniowie dokładnie wiedzą, 
        które treści (WS) i które kryteria oceny (WO) są zaliczone, a~nad czym muszą pracować.
  \item \textbf{Elastyczność i sprawiedliwość} -- nauczyciel może dostosowywać wagi 
        w~zależności od priorytetów, ale zawsze \emph{pewien minimalny próg} 
        obowiązuje we wszystkich działach.
  \item \textbf{Wspieranie rozwoju uczniów} -- konieczność osiągnięcia \emph{progów minimalnych} 
        w~każdym dziale zapobiega sytuacji, że uczeń będzie zalegał z ważnych treści, 
        nadrabiając punktację gdzie indziej.
\end{itemize}

\end{document}