\documentclass[a4paper,12pt]{article}

%---- Ustawienia polskich znaków -----------------------------------------------
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel}

%---- Lepsza czcionka i estetyka ----------------------------------------------
\usepackage{lmodern}
\usepackage{parskip}

%---- Pakiety matematyczne i nie tylko ----------------------------------------
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{array}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{longtable}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{tikz}
\usepackage{pifont}

%---- Pakiet do ładnych ramek i kolorowych boksów -----------------------------
\usepackage[most]{tcolorbox}

%---- Definicje stylów ramek tcolorbox ----------------------------------------
\tcbset{
  framecode={},
  center title,
  left=2mm,
  right=2mm,
  top=1mm,
  bottom=1mm,
  fonttitle=\bfseries,
  colback=gray!5,
  colframe=black!70,
  enlarge top by=2mm,
  enlarge bottom by=2mm,
  boxsep=2pt
}

% Przykładowy styl tcolorbox do zadań
\newtcolorbox{taskbox}[2][]{
  title=#2,
  #1
}

% Przykładowy styl tcolorbox do rozwiązań lub komentarzy
\newtcolorbox{solutionbox}[1][]{
  title=#1,
  colback=green!2,
  colframe=green!50!black,
  fonttitle=\bfseries\footnotesize,
  varwidth boxed title,
  boxed title style={rounded corners},
  sharp corners,
  boxrule=0.4pt,
  toprule=1pt,
  bottomrule=1pt
}

%---- Definicje naszych symboli i skrótów --------------------------------------
\newcommand{\ok}{%
  \tikz[baseline=-0.5ex]{
    \node[draw, rectangle, minimum size=1em, inner sep=0pt] 
      {\textcolor{green}{\ding{51}}};
  }%
}
\newcommand{\no}{%
  \tikz[baseline=-0.5ex]{
    \node[draw, rectangle, minimum size=1em, inner sep=0pt] 
      {\textcolor{red}{\ding{55}}};
  }%
}

% Makra do odwołań, np. WS (wymaganie szczegółowe), WO (wymaganie ogólne), itp.
\newcommand{\WS}[1]{\textbf{WS #1}}
\newcommand{\WO}[1]{\textbf{WO #1}}
\newcommand{\WOGPrec}{\textbf{W$_{\text{Og(Prec)}}$}}

%---- Ustawienia marginesów ---------------------------------------------------
\geometry{
  left=2.5cm,
  right=2.5cm,
  top=2.5cm,
  bottom=2.5cm
}

%---- Definicja stylu fancyhdr ------------------------------------------------
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % wyczyszczenie nagłówków i stopek
\lhead{Praca z ciągiem geometrycznym}
\rhead{Przykład -- bez pakietu forest}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\cfoot{\thepage}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}


\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}             % Czyścimy domyślne nagłówki i stopki

% Definiujemy stopkę

% Definiujemy kolor czerwony dla WS oraz ciemnozielony dla WO
\definecolor{ws}{rgb}{0.0, 0.0, 1.0}         % Czerwony
\definecolor{wo}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0}       % "dark green"

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % Czyścimy domyślne stopki / nagłówki


%-----------------------------------------------------------
% 1) Makra do dynamicznego przechowywania wartości WS i WO
%-----------------------------------------------------------
%   Sposób: \setWS{1}{12} -> ustawia "WSvalue1" = "12"
%           \getWS{1}    -> rozwija się do "12"

\usepackage{pgffor}   % umożliwia \foreach


% 1) Makra do dynamicznego przechowywania wartości WS i WO
\makeatletter
\newcommand{\setWS}[2]{\expandafter\def\csname WSvalue#1\endcsname{#2}} % np. \setWS{1}{00}
\newcommand{\getWS}[1]{\csname WSvalue#1\endcsname}                    % np. \getWS{1} -> "00"
\newcommand{\setWO}[2]{\expandafter\def\csname WOvalue#1\endcsname{#2}} % np. \setWO{2}{10}
\newcommand{\getWO}[1]{\csname WOvalue#1\endcsname}
\makeatother

% 2) Ustawiamy wszystkie WS i WO na wartość domyślną "00"
%    (15 WS, 11 WO — zmień, jeśli potrzebujesz innej liczby)
\foreach \i in {1,...,15}{\setWS{\i}{00}}
\foreach \j in {1,...,11}{\setWO{\j}{00}}

% Definiujemy kolory
\definecolor{ws}{rgb}{1.0, 0.0, 0.0}   % czerwony
\definecolor{wo}{rgb}{0.0, 0.5, 0.0}   % ciemnozielony

% Stopka
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} % czyścimy domyślne stopki / nagłówki
\fancyfoot[L]{%
  \scriptsize  % Pomniejszona czcionka w stopce
  \begin{tabular}{@{}l l}
    \textbf{WS:} & 
    % Generowanie WS dynamicznie
    \foreach \i in {1,...,15}{%
      \ifnum\i>1 |\fi% Dodaj separator "|" między elementami (bez spacji)
      \textcolor{ws}{1.\i}\textcolor{black}{[\getWS{\i}]}%
    }
    \\
    \textbf{WO:} &
    % Generowanie WO dynamicznie
    \foreach \j in {1,...,11}{%
    \ifnum\j>1 |\fi% Dodaj separator "|" między elementami (bez spacji)
    \textcolor{wo}{%
      \ifcase\j
      \or 1.1% \j = 1
      \or 2.1% \j = 2
      \or 2.2% \j = 3
      \or 3.1% \j = 4
      \or 3.2% \j = 5
      \or 3.3% \j = 6
      \or 3.4% \j = 7
      \or 4.1% \j = 8
      \or 4.2% \j = 9
      \or 4.3% \j = 10
      \or 4.4% \j = 11
      \fi
    }%
    \textcolor{black}{[\getWO{\j}]}%
  }
  \end{tabular}
  \vspace{4pt}
  \hrule
  \vspace{4pt}
  \[
    P_{\mathrm{dział\,max}} = 0
    \quad
    \textcolor{red}{\forall j \in \{1,\dots,N_{WO}\},\; \exists i(j) \in \{1,\dots,N^j_{WS}\}}
  \]
}

% Definiujemy kolor fioletowy (jeśli nie chcesz polegać na wbudowanym 'violet')
\definecolor{violet}{rgb}{0.5,0.0,0.5}
\definecolor{darkgreen}{RGB}{0, 100, 0}

\newenvironment{solutionbox}[1][]{
  % \begin{tcolorbox}[colback=white,title=#1]
    \begin{tcolorbox}[title={#1}]

    }{%
  \end{tcolorbox}
}

%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{document}

% Ustawianie wartości WS
\setWS{0}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{1}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{2}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{3}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{4}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{5}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{6}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{7}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{8}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{9}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{10}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{11}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{12}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{13}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{14}{00} % WS 1.1 = 10
\setWS{15}{00} % WS 1.1 = 10

% Ustawianie wartości WO
\setWO{1}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{2}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{3}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{4}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{5}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{6}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{7}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{8}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{9}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{10}{00} % WO 1.1 = 15
\setWO{11}{00} % WO 1.1 = 15

%---- Tytuł + miejsce na dane ucznia -------------------------------------------
\begin{center}
  {\LARGE\bfseries Rozbudowane zadanie z ciągu geometrycznego}\\[6pt]
  \textbf{Maksymalna liczba punktów: 12 (przykład)}\\[2pt]
\end{center}

\vspace{1em}

\noindent
\textbf{Imię i nazwisko:} \rule{0.6\textwidth}{0.4pt}\\[4pt]
\textbf{Klasa / Grupa:} \rule{0.3\textwidth}{0.4pt}

\vspace{1em}

\newpage
\setWS{4}{04} % WS 1.1 = 10

\setWO{1}{02} % WO 1.1 = 15
\setWO{8}{02} % WO 1.1 = 15

\setWO{4}{01} % WO 1.1 = 15
\setWO{5}{01} % WO 1.1 = 15

\setWO{9}{01} % WO 1.1 = 15
\setWO{10}{01} % WO 1.1 = 15
%==============================================================================
\section*{Treść zadania}


\begin{taskbox}[title={Zadanie z ciągu geometrycznego (rozszerzone)}]
 DDany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem:
\[
a_n = 5 \cdot (-2)^{\,n-1} 
\quad
\text{dla } n \ge 1.
\]
Wykonaj następujące polecenia:

\begin{enumerate}[label=\bfseries \arabic*)]
  \item Oblicz sumę pierwszych 6 wyrazów ciągu.  
  \item Wyznacz ten wyraz ciągu, który ma wartość \(-80\).  
  \item Uzasadnij, czy ciąg \((a_n)\) jest ograniczony z~góry lub z~dołu (lub oba).  
  \item Przedstaw \emph{graficznie} (punktowo) wartości ciągu dla \(n = 1,2,3,4,5,6\) i opisz jego własności (np.~monotoniczność, zmienność znaku).
\end{enumerate}
\end{taskbox}

% \vspace{1em}
\newpage
\begin{solutionbox}[title={Zestawienie zadań i przypisanych wymagań}]
  % Ustawiamy wielkość czcionki na 8pt (z odpowiednim interlinią, np. 9.6pt)
  % \fontsize{8pt}{9.6pt}\selectfont
  \fontsize{10pt}{12pt}\selectfont
  % \fontsize{12pt}{14.4pt}\selectfont

  \textbf{Każdy \WS{} i \WO{} otrzymuje 1 pkt zgodnie z \textbf{SO}.}

  \begin{itemize}[leftmargin=1.5em,label=\textbf{--}]
    \item \textbf{Zadanie 1: Oblicz sumę 6 wyrazów ciągu}
      \begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
        \item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
          \emph{(PP: „Stosuje wzory i własności ciągów geometrycznych”)}
          \begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
            \item \WO{1.1} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych”)}  
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: obliczenie sumy ciągu, podstawianie do wzoru.}}

            \item \WO{4.1} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Samodzielne uzasadnianie poprawności toku rozumowania”)}  
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: wytłumaczenie, dlaczego wzór na sumę jest prawidłowy.}}
          \end{itemize}
      \end{itemize}

    \item \textbf{Zadanie 2: Wyznacz wyraz ciągu równy \(-80\)}
      \begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
        \item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
          \emph{(PP: „Stosuje wyraz ogólny ciągu w zadaniach praktycznych i teoretycznych”)}
          \begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
            \item \WO{1.1} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Rozwiązywanie równań, w~szczególności wykładniczych”)}
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: w~tym miejscu występuje równanie \(5\cdot(-2)^{k-1}=-80\).}}

            \item \WO{4.2} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Dostrzeganie regularności i uogólnianie”)}
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: zauważenie naprzemiennego znaku wyrazów i~postępu geometrycznego.}}
          \end{itemize}
      \end{itemize}

    \item \textbf{Zadanie 3: Uzasadnij ograniczenie ciągu (lub jego brak)}
      \begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
        \item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
          \emph{(PP: „Analiza monotoniczności i granic ciągów geometrycznych”)}
          \begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
            \item \WO{4.1} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Stosowanie rozumowań dedukcyjnych i~dowodów w matematyce”)}
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: argumentacja dotycząca istnienia/nieistnienia ograniczeń.}}

            \item \WO{4.3} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Opracowywanie strategii rozwiązywania problemów”)}
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: wybór podejścia do badania ograniczoności, np. ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\).}}
          \end{itemize}
      \end{itemize}

    \item \textbf{Zadanie 4: Graficzna reprezentacja ciągu (narysuj punkty)}
      \begin{itemize}[leftmargin=2.5em,label=\(\bullet\)]
        \item \WS{1.4} \textbf{[1 pkt]} \\
          \emph{(PP: „Prezentowanie zagadnień matematycznych w różnych formach graficznych”)}
          \begin{itemize}[leftmargin=3.5em,label=\(\circ\)]
            \item \WO{3.1} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Stosowanie obiektów matematycznych, np. układu współrzędnych, do opisu sytuacji”)}
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: narysowanie punktów \((n,a_n)\) dla określonych \(n\).}}

            \item \WO{3.2} \textbf{[1 pkt]} \\
              \emph{(PP: „Interpretowanie wykresów i wyciąganie wniosków z przedstawionych danych”)}
              \\ \quad \textcolor{violet}{\textit{Komentarz: omówienie, jak kształtuje się ciąg (monotoniczność, znak, itp.).}}
          \end{itemize}
      \end{itemize}
  \end{itemize}

  \textbf{Suma punktów:}
  \begin{itemize}[noitemsep]
    \item \textbf{Zadanie 1:}
      \begin{itemize}[noitemsep]
        \item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
        \item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
        \item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
      \end{itemize}

    \item \textbf{Zadanie 2:}
      \begin{itemize}[noitemsep]
        \item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
        \item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
        \item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
      \end{itemize}

    \item \textbf{Zadanie 3:}
      \begin{itemize}[noitemsep]
        \item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
        \item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
        \item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
      \end{itemize}

    \item \textbf{Zadanie 4:}
      \begin{itemize}[noitemsep]
        \item $N_{W_S} = 1$, $w_{s_1} = 1$,
        \item $N^1_{W_O} = 2$, $w_{o_1} = 1$, $w_{o_2} = 1$.
        \item Częściowa punktacja: \(1 \times (1 + 1) = 2\)~pkt.
      \end{itemize}
  \end{itemize}

  \textbf{Łącznie: } \(2 + 2 + 2 + 2 = \boxed{8}\)~pkt.
\end{solutionbox}

%------------------------------------------------------------------------------



\vspace{1em}

%------------------------------------------------------------------------------
\section*{Kroki rozwiązania --- struktură drzewiasta (bez pakietu forest)}

%------------------------------------------------------------------------------
\begin{solutionbox}[title={Krok 1: Obliczenie sumy pierwszych 6 wyrazów}]
\textbf{Cel}: Obliczyć \(\displaystyle S_6 = a_1 + a_2 + \dots + a_6.\)

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Stosuje wzory na ciągi geometryczne (szczegół).
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{1.1}} \textbf{[2 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
          \[
            \text{Obliczenia sumy: } 
            S_6 = a_1 \cdot \frac{1 - q^6}{1 - q},\;
            a_1 = 5,\; q = -2.
          \]
      \end{itemize}
    \end{itemize}

  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Uzasadnienie poprawności wzoru.
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.1}} \textbf{[1 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}: 
        Zastosowany został standardowy wzór na sumę ciągu geometrycznego, 
        \(\displaystyle S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}\).
      \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{solutionbox}

\vspace{1em}

%------------------------------------------------------------------------------
\begin{solutionbox}[title={Krok 2: Wyznaczenie wyrazu ciągu równego \(-80\)}]
\textbf{Cel}: Rozwiązać równanie \(\displaystyle a_k = -80\).

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Wykorzystanie wzoru na wyraz ogólny.
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{1.1}} \textbf{[2 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
        \[
          a_k = 5\cdot(-2)^{k-1} = -80.
          \quad \Rightarrow \quad (-2)^{k-1} = -\frac{80}{5} = -16.
        \]
        \[
          \text{Należy znaleźć } k \text{ takie, że } (-2)^{k-1} = -16.
        \]
      \end{itemize}
    \end{itemize}

  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Dostrzeganie regularności zmian znaku ciągu.
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.2}} \textbf{[1 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
        Każdy kolejny wyraz mnożymy przez \(-2\).  
        \(\displaystyle -16\) to \((-2)^4\) z~minusem w~„środku”:
        \[
          (-2)^4 = 16, \quad (-2)^5 = -32, 
          \quad (-2)^3 = -8, \dots
        \]
        Zatem \(k-1=4\) i \(\,k=5\) (sprawdź znak!).
      \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{solutionbox}

\vspace{1em}

%------------------------------------------------------------------------------
\begin{solutionbox}[title={Krok 3: Uzasadnienie ograniczenia ciągu (z góry lub z dołu)}]
\textbf{Cel}: Sprawdzić, czy \((a_n)\) jest ograniczony.

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Analiza wielkości wyrazów.
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.1}} \textbf{[2 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
          \[
            |a_n| = |5 \cdot (-2)^{n-1}| = 5 \cdot 2^{n-1},
          \]
          co \emph{rośnie} wraz z~\(n\). Zatem nie jest ograniczony z~góry.
      \end{itemize}
    \end{itemize}

  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Strategia dowodzenia (gdzie występuje ograniczenie).
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{4.3}} \textbf{[1 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
          Ponieważ wyrazy mają naprzemienny znak (+/–), w~jednych krokach są dodatnie i~rosną \emph{wartościowo}, w~innych ujemne (o~coraz większej wartości bezwzględnej).  
          Ciąg \emph{nie jest} ograniczony ani z~góry, ani z~dołu (wartości ujemne też rosnąco \emph{maleją}).
      \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{solutionbox}

\vspace{1em}

%------------------------------------------------------------------------------
\begin{solutionbox}[title={Krok 4: Graficzna reprezentacja ciągu (dla n=1..6)}]
\textbf{Cel}: Narysować punkty \((n, a_n)\) i~zinterpretować.

\begin{itemize}[label=$\bullet$]
  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[2 pkt]}: Wykres punktowy (obiekt matematyczny).
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{3.1}} \textbf{[2 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
        Nanosimy na płaszczyznę punkty:
        \[
          (1,5), (2,-10), (3,20), (4,-40), (5,80), (6,-160).
        \]
      \end{itemize}
    \end{itemize}

  \item \textcolor{red!60}{\WS{1.4}} \textbf{[1 pkt]}: Interpretacja reprezentacji (monotoniczność, tendencje).
    \begin{itemize}[label=$\circ$]
      \item \ok{} \textcolor{darkgreen}{\WO{3.2}} \textbf{[1 pkt]}:
      \begin{itemize}[label=$\diamond$]
        \item \textcolor{blue!60}{\WOGPrec}:
        Widzimy naprzemienne przejścia przez wartości dodatnie i~ujemne,  
        przy czym \(|a_n|\) rośnie dwukrotnie z~każdym krokiem.
      \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{itemize}
\end{solutionbox}

\vspace{1em}
\section*{Uwagi końcowe (przykładowe obliczenia)}

\begin{itemize}
  \item \(\displaystyle S_6\) można wyliczyć: 
    \[
      S_6 = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^6}{1-(-2)} 
           = 5 \cdot \frac{1 - 64}{1 + 2} 
           = 5 \cdot \frac{-63}{3} = 5 \cdot (-21) = -105.
    \]
  \item Warunek \(\,a_k = -80\) daje \(\,k = 5\) (warto sprawdzić znak).  
  \item \(|a_n|\) rośnie wykładniczo, więc ciąg nie jest ograniczony.
  \item Wykres: punkty „skaczą” raz w~dół, raz w~górę, z~rozwijającą się wartością bezwzględną.
\end{itemize}

\end{document}