\documentclass[a4paper,12pt]{article}

% --------------------------------------------------------
% Pakiety i podstawowa konfiguracja
% --------------------------------------------------------
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{geometry}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\usepackage[polish]{babel}
\usepackage{forest}

\geometry{margin=2cm}

% Konfiguracja środowiska do rysowania drzew (forest):
\forestset{
  mytree/.style={
    for tree={
      draw,
      rounded corners,
      align=center,
      edge={->},
      parent anchor=south,
      child anchor=north
    }
  }
}

\begin{document}

% --------------------------------------------------------
% Wzory wykorzystywane w Szczegółowym Ocenianiu (SO)
% --------------------------------------------------------
\section*{Wzory wykorzystywane w Szczegółowym Ocenianiu (SO)}

\begin{itemize}
  \item \textbf{(Wzór 1) Maksymalna liczba punktów za zadanie:}
  \[
    P_{\mathrm{max}}^{\mathrm{zad}} 
    \;=\;
    \sum_{i=1}^{N_{WS}} 
      \Bigl( w_{s_i} \times \sum_{j=1}^{N_{WO}^i} w_{o_j} \Bigr),
  \]
  gdzie \(N_{WS}\) to liczba Wymagań Szczegółowych, \(N_{WO}^i\) to liczba Wymagań Ogólnych 
  przypisanych do \(i\)-tego WS, a \(w_{s_i}, w_{o_j}\) to wagi poszczególnych wymagań.

  \item \textbf{(Wzór 3) Procent uzyskanych punktów (np. do wyznaczenia oceny):}
  \[
    \%\;=\;\frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\text{max}}} \times 100\%.
  \]

  \item \textbf{(Wzór 4) Ocena z danej formy (np. kartkówki):}
  \[
    O_{\text{forma}}
    \;=\;
    \frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{zad}}} O_{\text{zad}_k}}{N_{\text{zad}}},
  \]
  gdzie \(O_{\text{zad}_k}\) to ocena z \(k\)-tego zadania, a \(N_{\text{zad}}\) to liczba zadań
  danej formy.

  \item \textbf{(Wzór 5) Ocena z działu:}
  \[
    O_{\text{dział}}
    \;=\;
    \frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{form}}} O_{\text{form}_k}}{N_{\text{form}}},
  \]
  czyli średnia ocen z~wszystkich form sprawdzania wiedzy w~danym dziale.

  \item \textbf{(Wzór 6) Ocena z poziomu nauczania (np. semestr/rok):}
  \[
    O_{\text{poziom}}
    \;=\;
    \frac{\sum_{k=1}^{N_{\text{dział}}} O_{\text{dział}_k}}{N_{\text{dział}}}.
  \]
\end{itemize}

\bigskip

% --------------------------------------------------------
% 1. Wstęp: Szczegółowe Ocenianie (SO) - idea
% --------------------------------------------------------
\section*{Wstęp: Szczegółowe Ocenianie (SO)}

\noindent
\textbf{Idea:} Każde zadanie (egzaminacyjne, kartkowe, sprawdzianowe itp.) 
zostało rozbite na \emph{Wymagania Szczegółowe (WS)}. 
Każdy \textbf{WS} jest dodatkowo oceniany przez pewne \textbf{Wymagania Ogólne (WO)}, 
które sprawdzają takie aspekty jak:
\begin{itemize}
  \item \textbf{WO$_1$} -- sprawność rachunkowa,
  \item \textbf{WO$_2$} -- wykorzystanie i tworzenie informacji,
  \item \textbf{WO$_3$} -- wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji,
  \item \textbf{WO$_4$} -- rozumowanie i argumentacja.
\end{itemize}

\noindent
\textbf{Punktacja typu TAK/NIE:} 
Dla każdego \textbf{WS--WO} sprawdzamy, czy jest \emph{zrealizowane} 
(w~rozwiązaniu widać spełnienie tego wymagania) czy \emph{nie}. 
Jeśli \textbf{TAK}, przyznajemy ustaloną liczbę punktów (np.~1). 
Jeśli \textbf{NIE}, to 0 punktów. 
Następnie zliczamy punkty w zadaniu i porównujemy z maksymalną liczbą punktów dla zadania.

\bigskip

% --------------------------------------------------------
% 2. Zadanie 1
% --------------------------------------------------------
\section*{Zadanie 1: Wyrażenia z pierwiastkami i potęgami}

\noindent
\textbf{Treść zadania:}\\
Oblicz wartość wyrażenia:
\[
  \sqrt{16} + 2^{-3}.
\]
Uzasadnij krótko swoje kroki (np. dlaczego \(\sqrt{16}=4\), 
czemu \(2^{-3}=\tfrac{1}{8}\)), a następnie podaj 
\emph{praktyczną interpretację} (np.~co oznacza potęga ujemna
w kontekście zmniejszenia skali pewnych wielkości).

\subsection*{Wymagania Szczegółowe (WS) i przyporządkowane Wymagania Ogólne (WO)}
\begin{itemize}
  \item \textbf{WS$_1$:} Wykonuje działania na liczbach rzeczywistych z wykorzystaniem pierwiastków i potęg.\\
    \textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_4$)}

  \item \textbf{WS$_2$:} Stosuje potęgi i pierwiastki w kontekstach praktycznych.\\
    \textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_2$)}
\end{itemize}

\subsection*{Drzewo wymagań (Zadanie 1) -- schemat}
\begin{forest}
  mytree
  [Zadanie 1
    [WS$_1$
      [WO$_1$]
      [WO$_4$]
    ]
    [WS$_2$
      [WO$_1$]
      [WO$_2$]
    ]
  ]
\end{forest}

\subsection*{Wagi i punktacja maksymalna}
Dla uproszczenia przyjmujemy, że każda para \textbf{WS--WO} ma wagę = 1 pkt.
\[
  \underbrace{\text{WS}_1 \times (\text{WO}_1 + \text{WO}_4)}_{2\,\text{pkt}}
  \;+\;
  \underbrace{\text{WS}_2 \times (\text{WO}_1 + \text{WO}_2)}_{2\,\text{pkt}}
  \;=\;
  4\,\text{pkt}.
\]
Zatem:
\[
  P_{\max}^{(\text{Zadanie 1})} = 4.
\]

\subsection*{Przykład pełnego rozwiązania i oceniania (Zadanie 1)}

\begin{enumerate}
  \item \(\sqrt{16} = 4\). 
    \begin{itemize}
      \item \textbf{WS$_1$, WO$_1$} (sprawność rachunkowa): \textbf{TAK} = 1 pkt
      \item \textbf{WS$_1$, WO$_4$} (rozumowanie, uzasadnienie): np.~krótka argumentacja, że \(16=4^2\). 
            \textbf{TAK} = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \(2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\). 
    \begin{itemize}
      \item \textbf{WS$_2$, WO$_1$}: dalsza poprawność rachunkowa (0,125). \textbf{TAK} = 1 pkt
      \item \textbf{WS$_2$, WO$_2$}: podanie \emph{interpretacji praktycznej} (np.~zmniejszenie 8-krotne). 
            \textbf{TAK} = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item Ostateczny wynik: \(4 + \frac{1}{8} = 4{,}125\). (Sama suma nie wnosi kolejnego punktu, 
        bo i tak weryfikację \emph{rachunkową} już oceniono przy \textbf{WO$_1$}.)
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Suma punktów:} \(1 + 1 + 1 + 1 = 4 \,(\text{max} =4)\).\\
\textbf{Procentowo:} \(\frac{4}{4}\times 100\% = 100\%\).

\bigskip

\subsection*{Przykład błędu (rozwiązanie częściowo poprawne, ale bez punktów za błędny element)}

\begin{itemize}
  \item \(\sqrt{16} = 4\) -- poprawnie.\\
        \textbf{(WS$_1$, WO$_1$)}: TAK = 1 punkt.
  
  \item Brak uzasadnienia (dlaczego \(\sqrt{16} = 4\)), 
        więc \textbf{(WS$_1$, WO$_4$)}: NIE = 0 punktów.
  
  \item \(2^{-3}\) błędnie podane jako \(-8\).\\
        \textbf{(WS$_2$, WO$_1$)}: NIE = 0 punktów (brak poprawnego rachunku).
  
  \item Brak jakiejkolwiek interpretacji praktycznej (potęgi ujemne).\\
        \textbf{(WS$_2$, WO$_2$)}: NIE = 0 punktów.
\end{itemize}

\noindent
\textbf{Suma punktów:} \(1 + 0 + 0 + 0 = 1\).\\
\textbf{Punktacja maksymalna w~Zadaniu 1:} 4.\\
\[
  \text{Procent} \;=\; \frac{1}{4} \times 100\% \;=\; 25\%.
\]



% --------------------------------------------------------
% 3. Zadanie 2
% --------------------------------------------------------
\section*{Zadanie 2: Trójkąt prostokątny i funkcje trygonometryczne}

\noindent
\textbf{Treść zadania:}\\
Mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3\,cm i 4\,cm.
\begin{itemize}
  \item[(a)] Oblicz długość przeciwprostokątnej (Twierdzenie Pitagorasa).
  \item[(b)] Wyznacz \(\sin\) oraz \(\cos\) kątów ostrych tego trójkąta.
  \item[(c)] Uzasadnij krótko tożsamość \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
\end{itemize}

\subsection*{Wymagania Szczegółowe (WS) i przyporządkowane Wymagania Ogólne (WO)}
\begin{itemize}
  \item \textbf{WS$_3$:} Stosuje funkcje trygonometryczne w trójkątach prostokątnych 
        (obliczanie boków, kątów itp.).\\
    \textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_3$, WO$_4$)}

  \item \textbf{WS$_4$:} Rozwiązuje zadania z Twierdzeniem Pitagorasa.\\
    \textit{(podlega ocenie w zakresie WO: WO$_1$, WO$_2$, WO$_4$)}
\end{itemize}

\subsection*{Drzewo wymagań (Zadanie 2) -- schemat}
\begin{forest}
  mytree
  [Zadanie 2
    [WS$_3$
      [WO$_1$]
      [WO$_3$]
      [WO$_4$]
    ]
    [WS$_4$
      [WO$_1$]
      [WO$_2$]
      [WO$_4$]
    ]
  ]
\end{forest}

\subsection*{Wagi i punktacja maksymalna}
Każda para \textbf{WS--WO} = 1 pkt:
\[
  \underbrace{(\text{WS}_3 \times 3\,\text{WO})}_{3\,\text{pkt}}
  \;+\;
  \underbrace{(\text{WS}_4 \times 3\,\text{WO})}_{3\,\text{pkt}}
  \;=\;
  6\,\text{pkt}.
\]
\[
  P_{\max}^{(\text{Zadanie 2})} = 6.
\]

\subsection*{Przykład pełnego rozwiązania i oceniania (Zadanie 2)}

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Twierdzenie Pitagorasa (WS$_4$):}\\
    \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.\)
    \begin{itemize}
      \item \textbf{WO$_1$} (poprawny rachunek): TAK = 1 pkt
      \item \textbf{WO$_2$} (wykorzystanie info, np.~rysunek lub tabela danych): 
            \emph{jeśli} uczeń załączy krótki schemat lub opis. TAK = 1 pkt
      \item \textbf{WO$_4$} (rozumowanie): np.~wyjaśnienie, dlaczego Pitagoras tu działa. TAK = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \textbf{Funkcje trygonometryczne (WS$_3$):}\\
    \(\sin\alpha = \tfrac{3}{5}, \;\cos\alpha = \tfrac{4}{5};\;\)
    \(\sin\beta = \tfrac{4}{5}, \;\cos\beta = \tfrac{3}{5}\).
    \begin{itemize}
      \item \textbf{WO$_1$} -- dalsza poprawność rachunkowa: TAK = 1 pkt
      \item \textbf{WO$_3$} -- interpretacja kątów, np.~z rysunku: TAK = 1 pkt
      \item \textbf{WO$_4$} -- argumentacja: dlaczego akurat \(\frac{3}{5}\) i \(\frac{4}{5}\). TAK = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \textbf{Tożsamość} \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).\\
    (Zwykle ocenimy w ramach \textbf{WS$_3$, WO$_4$} -- jeżeli uczeń pokaże krótkie uzasadnienie 
    z interpretacji geometrycznej. Może to też być zaliczone w poprzednim punkcie.)
\end{enumerate}

\noindent
\textbf{Maksimum:} \(6/6\) pkt \(\to 100\%\).

\subsection*{Przykład częściowej realizacji: szczegółowa punktacja (Zadanie 2)}

\noindent
\textbf{Zadanie 2:} (maks. 6 pkt)

\bigskip
\textbf{WS\textsubscript{4}: Twierdzenie Pitagorasa (3 pkt)}

\begin{itemize}
  \item \textbf{WO\textsubscript{1}} (poprawny rachunek):
    \begin{itemize}
      \item Uczeń oblicza przeciwprostokątną: \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\).
      \item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \textbf{WO\textsubscript{2}} (wykorzystanie informacji / rysunek):
    \begin{itemize}
      \item Dodany jest prosty schemat trójkąta z zaznaczeniem boków 3 i 4 cm.
      \item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \textbf{WO\textsubscript{4}} (rozumowanie / argumentacja):
    \begin{itemize}
      \item Uczeń wyjaśnia, dlaczego używamy Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym.
      \item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
    \end{itemize}
\end{itemize}

\noindent
Suma za WS\textsubscript{4} = 3/3 pkt.

\bigskip
\textbf{WS\textsubscript{3}: Funkcje trygonometryczne w trójkącie (3 pkt)}

\begin{itemize}
  \item \textbf{WO\textsubscript{1}} (rachunek):
    \begin{itemize}
      \item Podano \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\) – rachunkowo poprawnie.
      \item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \textbf{WO\textsubscript{3}} (interpretowanie reprezentacji):
    \begin{itemize}
      \item Uczeń wskazuje, że kąt \(\alpha\) leży przy przyprostokątnej długości 3 (np. z krótkim opisem).
      \item \(\Rightarrow\) TAK = 1 pkt
    \end{itemize}

  \item \textbf{WO\textsubscript{4}} (rozumowanie i argumentacja):
    \begin{itemize}
      \item Brak uzasadnienia wzorów lub tożsamości \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).
      \item \(\Rightarrow\) NIE = 0 pkt
    \end{itemize}
\end{itemize}

\noindent
Suma za WS\textsubscript{3} = 2/3 pkt.

\bigskip
\textbf{Łączna liczba punktów (Zad. 2)}: \(3 + 2 = 5\) / 6.

\[
  \text{Procent} = \frac{5}{6} \times 100\% \approx 83{,}3\%.
\]

\noindent
W przykładowej skali progowej (\(80\%-94\%\)) oznacza to ocenę: 5 (bdb).


\bigskip

% --------------------------------------------------------
% 4. Skala ocen i przeliczanie punktów
% --------------------------------------------------------
\section*{Skala ocen i przeliczanie punktów na ocenę}

\subsection*{Krok 1: Suma punktów zadań i obliczenie \%}
\begin{itemize}
  \item \(\displaystyle P_{\max}^{(\text{Zadanie 1})} = 4\)
  \item \(\displaystyle P_{\max}^{(\text{Zadanie 2})} = 6\)
  \item \textbf{Suma maksymalna} w tej formie sprawdzania wiedzy (np.~kartkówce): 
    \[
      P_{\max}^{(\text{forma})} = 4 + 6 = 10.
    \]

  \item Po sprawdzeniu obu zadań, zliczamy \textbf{punkty uzyskane} 
        (np.~\(P_{\text{zdobyte}} = 8\)). 

  \item \textbf{Procent}: 
    \[
      \%\;=\;\frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\max}^{(\text{forma})}} \times 100\%.
    \]
    Przykład: 
    \(\frac{8}{10} \times 100\% = 80\%\).
\end{itemize}

\subsection*{Krok 2: Mapowanie procentu na ocenę szkolną (1--6)}
Proponowana \textbf{skala procentowa} (dostosowana do wewnątrzszkolnego oceniania):
\[
\begin{aligned}
  &0\%-29\% &&\;\;\to 1\ (\text{niedostateczny}),\\
  &30\%-49\% &&\;\;\to 2\ (\text{dopuszczający}),\\
  &50\%-64\% &&\;\;\to 3\ (\text{dostateczny}),\\
  &65\%-79\% &&\;\;\to 4\ (\text{dobry}),\\
  &80\%-94\% &&\;\;\to 5\ (\text{bardzo dobry}),\\
  &\ge 95\% &&\;\;\to 6\ (\text{celujący}).
\end{aligned}
\]
\emph{Przykład:} jeśli ktoś uzyskał 80\%, to w tej skali otrzymuje ocenę 5 (bdb).

\subsection*{Krok 3: Wpis do dziennika (skala 0--10 pkt z kartkówki)}
Czasem nauczyciel wewnętrznie (w dzienniku) woli notować \emph{liczbę punktów 0--10} 
zamiast oceny w skali 1--6. 
W takiej sytuacji:
\[
  \text{punkty\_0-10} 
  \;=\;
  \bigl\lfloor\, (\% / 100) \times 10 \bigr\rceil \quad
  \text{(np. zaokrąglenie do jednego miejsca po przecinku lub do całości).}
\]
\emph{Przykład:} 80\% \(\to\) \((0.80)\times 10=8\) punktów w dzienniku.

\bigskip

% --------------------------------------------------------
% 5. Podsumowanie
% --------------------------------------------------------
\section*{Podsumowanie: kroki oceniania w praktyce}

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Weryfikacja WS--WO} w każdym zadaniu:
    \begin{itemize}
      \item Sprawdzasz, czy \textbf{WS$_i$, WO$_j$} jest spełnione (TAK = 1 pkt, NIE = 0 pkt).
      \item Sumujesz wszystkie przyznane punkty.
    \end{itemize}

  \item \textbf{Punkty za zadanie} = liczba zrealizowanych \textbf{WS--WO} / maksymalna możliwa liczba.
    \begin{itemize}
      \item Np. w Zadaniu~1 \(\max = 4\), w Zadaniu~2 \(\max = 6\).
    \end{itemize}

  \item \textbf{Punkty łączne (forma)} = \(\sum\) punktów zadań. 
        \(\quad P_{\max}^{(\text{forma})} = \sum\) (maksymalna punktacja zadań).

  \item \textbf{Wyznaczenie procentu}:
    \[
      \%\;=\;\frac{P_{\text{zdobyte}}}{P_{\max}^{(\text{forma})}} \times 100\%.
    \]

  \item \textbf{Określenie oceny (1--6)} na podstawie progu procentowego (tablica powyżej).

  \item \textbf{(Opcjonalnie) Przeliczenie na skalę 0--10} i wpis do dziennika. 
        \[
          \text{punkty\_0-10} 
          \;=\; 
          \bigl\lfloor\, (\% / 100)\times 10 \bigr\rceil.
        \]
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent
\textbf{Przykład końcowy:}\\
Uczeń w Zadaniu~1 zdobył 3/4 pkt, w Zadaniu~2 zdobył 5/6 pkt, 
czyli łącznie 8/10 (co daje \(80\%\)). 
Skala procentowa: \(80\%\to5\) (bardzo dobry). 
W dzienniku nauczyciel może wpisać \textbf{8/10}~pkt (lub 5 bdb).

\bigskip


\end{document}
